设函数f(x)={-2x²+4x,x≤2 |log₂(x-2)|,x﹥2,若关于x的方程f(x)=t有四个实根x₁,x₂,x₃,x4(x₁＜x₂＜x₃＜x4),则x₁+x₂+2x₃+½x4的最小值为
解：作出函数f(x)的大致图象如图所示。
由图可知，$x_{1}+x_{2}=2$,$-\log _{2}(x_{3}-2)=\log _{2}(x_{4}-2)$,
则$(x_{3}-2)(x_{4}-2)=1$,其中${{x}_{4}}-2={{2}^{{{x}_{3}}-2}}$,
所以$x_{1}x_{2}2x_{3}\cdot \frac{1}{2}x_{4}=4x_{3}(x_{4}-2)=4x_{3}(2^{x_{3}-2})=4\cdot \frac{x_{3}}{2^{2-x_{3}}}$,
令$g(x)=\dfrac{x}{2^{2-x}}$,则$g'(x)=\dfrac{2^{2-x}-(\ln 2)x\cdot 2^{2-x}}{(2^{2-x})^{2}}=\dfrac{-x\cdot \ln 2+2}{2^{2-x}}$,
当$0< x< \dfrac{2}{\ln 2}$时，$g'(x)>0$,g(x)单调递增；
当$x>\dfrac{2}{\ln 2}$时，$g'(x)< 0$,g(x)单调递减.
又因为$\dfrac{1}{4}=g(0)< g(1)=1$,所以当且仅当$x_{3}=1$时，$g(x_{3})$取得最大值1,
此时${{x}_{1}}{{x}_{2}}2{{x}_{3}}\cdot\dfrac{1}{2}{{x}_{4}}$取最小值为4.故答案为：4
由图可知，$x_{1}+x_{2}=2$,$-\log _{2}(x_{3}-2)=\log _{2}(x_{4}-2)$,
则$(x_{3}-2)(x_{4}-2)=1$,其中${{x}_{4}}-2={{2}^{{{x}_{3}}-2}}$,
所以$x_{1}x_{2}2x_{3}\cdot \frac{1}{2}x_{4}=4x_{3}(x_{4}-2)=4x_{3}(2^{x_{3}-2})=4\cdot \frac{x_{3}}{2^{2-x_{3}}}$,
令$g(x)=\dfrac{x}{2^{2-x}}$,则$g'(x)=\dfrac{2^{2-x}-(\ln 2)x\cdot 2^{2-x}}{(2^{2-x})^{2}}=\dfrac{-x\cdot \ln 2+2}{2^{2-x}}$,
当$0< x< \dfrac{2}{\ln 2}$时，$g'(x)>0$,g(x)单调递增；
当$x>\dfrac{2}{\ln 2}$时，$g'(x)< 0$,g(x)单调递减.
又因为$\dfrac{1}{4}=g(0)< g(1)=1$,所以当且仅当$x_{3}=1$时，$g(x_{3})$取得最大值1,
此时${{x}_{1}}{{x}_{2}}2{{x}_{3}}\cdot\dfrac{1}{2}{{x}_{4}}$取最小值为4.故答案为：4
